Introduction

L’algèbre de Boole des fonctions logiques permet de réaliser des fonctions sur des variables d’entrées d’un circuit numérique  en exprimant  son  état  de sortie en fonction des conditions d’entrées. Elle utilise des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs de la logique des propositions.

L’algèbre de Boole trouve des applications dans plusieurs domaines et particulièrement dans la conception des circuits électroniques et dans l’informatique. Pour réaliser une fonction logique, on utilise des portes logiques qui sont  des composants électroniques se présentant sous la forme de circuits intégrés.

Règles de l’algèbre de Boole

L’algèbre de Boole repose sur un  ensemble de règles de base :

•  Les postulats (Tableau 1)
• Les théorèmes pour une seule variable (Tableau 2)
• Les lois pour plusieurs variables (Tableau 3).

Lois de De Morgan : La première et la deuxième loi de De Morgan sont des règles qui définissent respectivement la négation d’une somme logique et la négation d’un produit logique.

Première loi de De Morgan : Si A et B sont deux propositions pouvant être vraies ou fausses et si l’on note :

Nier A ou B, c’est nier A et nier B  (ni A ni B)  d’où la première loi de De Morgan : La négation d’une addition logique de deux variables booléennes A et B est équivalent à un produit de la négation de chacune des variables.

Deuxième loi de De Morgan : Tout en gardant la même notation que précédemment, nier la coexistence de A et de B, c’est nier A ou nier B d’où la deuxième loi de De Morgan : La négation d’un produit logique de deux variables A et B peut être écrite sous la forme d’une somme logique de la négation des deux variables.

Remarque : Les deux lois de De Morgan sont applicables pour plus que deux variables. On peut donc, par exemple, écrire pour trois variables :

Loi de l’absorption logique : Dans expression logique, si une variable logique  A est additionnée à un produit où A est présente, l’expression est réduite à la  variable A. De même, si une variable A est multipliée par une addition où A est présente, l’expression ne dépendra que de A.

• A + A.B     = A
• A. (A + B) = A

En effet, A + A.B = A (1 + B)= A x1 (Puisque 1+B = 1)  et Ax1=A et donc   A + A.B = A. D’autre part, A. (A+B) = A A+(A.B) = A + AB (Puisque A.A= A) et A + AB = A (1 + B) = A.1 = A

Loi de l’adjacence logique : Cette loi permet de simplifier la somme de deux produits où une variable A et sa négation sont présentes dans les deux produits.

Les opérateurs logiques :

Les opérateurs logiques sont en général des opérateurs électroniques se présentant sous la forme de circuits intégrés. Les boîtiers contenant les opérateurs sont pourvus d’un certain nombre de connexions (pattes ou  broches),  nécessitent pour fonctionner une alimentation électrique.

Les opérateurs logiques usuels sont les suivants:

• ET (AND)
• OU (OR) également appelé OU inclusif
•  Inverseur
• NAND (ET complémenté)
• NOR   (OU complémenté)
• OU Exclusif (XOR)

La figure 1 donne les symboles courants et normalisés par l’IEC (International Electrotechnical Commission).

Etude de l’opérateur logique AND

• L’expression logique de l’opérateur AND est de la forme S = X . Y où X et Y sont deux variables d’entrées et S la sortie.
• La table de vérité de l’opérateur AND est la suivante :

Cas particuliers

Etude de l’opérateur logique OR

• L’expression logique de l’opérateur OR est de la forme S = X + Y où X et Y sont deux variables d’entrées et S la sortie.
• La table de vérité de l’opérateur OR est la suivante :

Cas particuliers

Etude de l’opérateur logique NAND

Cas particuliers

Etude de l’opérateur logique NOR

Cas particuliers

Etude de l’opérateur logique XOR (OU Exclusif)

• L’expression logique de l’opérateur XOR est de la forme S = X ⊕  Y  où X et Y sont deux variables d’entrées et S la sortie.
• La table de vérité de l’opérateur XOR est la suivante :

Simplification des fonctions logiques

La simplification des fonctions logiques consiste à  réduire le nombre de termes dans une fonction et le nombre de variables dans un terme pour  réduire le nombre de portes logiques utilisées et par voie de conséquence le coût du circuit.

Simplification par la méthode algébrique : Les règles les plus utilisées sont les suivantes :

Exercices d’application

Simplifier algébriquement les expressions suivantes :

Corrigés

Simplification par la méthode des tables de Karnaugh : Il s’agit d’untableau à double entrées et dans lequel chaque combinaison des variables d’entrée est associée à une case qui contient la valeur de la fonction. La construction du tableau nécessite que la disposition des cases soit telle que deux cases contiguës correspondent à des combinaisons adjacentes des variables d’entrée (combinaisons  contiguës ne doivent différer que par la complémentation d’une seule variable).

Exemple de construction d’une table de Karnaugh à quatre entrées

Une fois le tableau construit, on remplit les cases par 1 quand la fonction est égale a 1 et par 0 autrement. Ensuite, on repère les 1 contigus  et on effectue la simplification correspondante.

Exercices d’application

1. Simplifier par le tableau de Karnaugh la fonction suivante :

2.  Simplifier la fonction S2 donnée par la table de Karnaugh suivante :

Corrigés

1. S1 est fonction de deux variables puisque l’expression de S1 est donnée par :

Soit la table suivant:

Apres regroupement des 1 comme indique, on obtient :

2. on repère les 1 contigus et on fait la simplification.  

On obtient :